Die Summe aller natürlichen Zahlen ist negativ

Ich bin verwirrt, und wenn du 8 Minuten Zeit und ein bisschen mathematischen Sachverstand mitbringst (allerdings nicht zu viel), dann kannst du das auch gleich sein. Es geht um Folgendes:

Die Geschichte des jungen Schülers Carl Friedrich Gauß ist ziemlich bekannt, überliefert wurde sie uns von Wolfgang Sartorius von Waltershausen:

„Der junge Gauss war kaum in die Rechenclasse eingetreten, als Büttner die Summation einer arithmetischen Reihe aufgab. Die Aufgabe war indess kaum ausgesprochen als Gauss die Tafel mit den im niedern Braunschweiger Dialekt gesprochenen Worten auf den Tisch wirft: »Ligget se’.« (Da liegt sie.)“ Die genaue Aufgabenstellung ist nicht überliefert. Oft wird berichtet, dass Büttner die Schüler die Zahlen von 1 bis 100 (nach anderen Quellen von 1 bis 60) addieren ließ und Gauß feststellte, dass die erste und die letzte Zahl (1+100), die zweite und die vorletzte Zahl (2+99) usw. zusammen immer 101 ergeben. Der Wert der gesuchten Summe ergibt sich so zu 101 mal 50.

Entsprechend den damaligen Verhältnissen unterrichtete Büttner etwa 100 Schüler in einer Klasse. Damals waren auch Züchtigungen mit der sogenannten Karwatsche (Lederpeitsche) üblich. Sartorius berichtet: „Am Ende der Stunde wurden darauf die Rechentafeln umgekehrt; die von Gauss mit einer einzigen Zahl lag oben und als Büttner das Exempel prüfte, wurde das seinige zum Staunen aller Anwesenden als richtig befunden, während viele der übrigen falsch waren und alsbald mit der Karwatsche rectificirt wurden.“ Büttner erkannte bald, dass Gauß in seiner Klasse nichts mehr lernen konnte.

Das Zitat stammt aus dem Wikipedia-Artikel zur Gaußschen Summenformel, denn genau darum geht es:

\sum\limits_{n=1}^k n = \frac{k(k+1)}{2}

Ganz offensichtlich ist das Ergebnis dieser Summe selbst wieder eine natürliche Zahl und dadurch auch positiv. Irgendwie intuitiv. Bis hierher ist meine Welt in Ordnung.

Spannend wird es, wenn wir die Summe jetzt nicht mehr nur bis k laufen lassen, sondern bis unendlich. Mathematiker behaupten folgendes:

\sum\limits_{n=1}^\infty n = -\frac{1}{12}

Das Ergebnis ist also jetzt erstens ein Bruch und zweitens negativ. Die Summe aller (!) natürlichen Zahlen soll negativ sein? Intuitiv geht anders. Und dann wird noch behauptet, das Ergebnis würde in der Physik hier und da eine Rolle spielen. Das lässt jetzt entweder Rückschlüsse auf die Einschätzung der (Un-)Wichtigkeit dieser Gleichung oder auf meine physikalische Bildung zu…

Im folgenden Video wird ein kurzer und wirklich gut verständlicher Beweis geliefert:

Für den wirklich interessierten Leser gibt es auch noch eine etwas umfangreichere Version:

Ich geh jetzt erst mal drüber schlafen…

19 Reaktionen auf “Die Summe aller natürlichen Zahlen ist negativ

  1. Arvid

    Falls du immer noch rätselst:
    Die Voraussetzung ist, dass die 1-1+1-1+1-1+1-…=1/2. Dies ist aber nicht so, denn der Beweis ist folgender:
    S=1-1+1-1+1-…=1-(1-1+1-1+1-1+…)=1-S woraus S=1/2 folgt. Mit der selben Argumentation könnte man aber auch sagen:
    T=1+1+1+1+1+…=1+(1+1+1+1+1+…)=1+T woraus 0=1 folgt, was offensichtlich falsch ist.
    Man kann also nicht einfach die Summe manipulieren.
    Liebe Grüße aus Darmstadt,
    Arvid

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    1. dasaweb Beitragsautor

      Hallo Arvid,

      ja, ich rätsle immer noch ;o) Aber danke für deinen Hinweis, der macht sie Sache nicht einfacher. Auf jeden Fall hast du Recht damit, dass das ganze Ding an der 1-1+1-1…-Sache hängt. Wenn man die hat kann man den Rest ableiten. Und zu genau dieser Frage gibt es auch ein Video, siehe unten.

      Zu der Summe hat sich Guido Grani vor langer Zeit schon Gedanken gemacht, seine Schlussfolgerungen waren obskur: http://de.wikipedia.org/wiki/Guido_Grandi Hier steht auch noch was dazu: http://de.wikipedia.org/wiki/Alternierende_Reihe_(Euler) Das Paradoxe kommt – genau wie in deinem Beispiel – durch die verschiedenartigen Umordnungen der Reihen: http://de.wikipedia.org/wiki/Umordnung_von_Reihen

      Aber du siehst schon, so ganz einordnen kann ich das alles noch nicht, und ich hantiere hier auch lediglich mit Wikipedia-Halbwissen…

      https://www.youtube.com/watch?v=PCu_BNNI5x4

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      1. Arvid

        Hallo dasaweb,
        die Wikipedia-Seiten, die du oben als Quellen angegeben hast, sagen eigentlich recht gut, dass die Umordnung bei der unendlichen Reihe über (-1)^n eben nicht erlaubt ist, ohne das Ergebnis zu manipulieren.
        Ich glaube, dass das Problem an der Sache die Tatsache ist, dass wir uns im Kopf unendliche Reihen wie endliche Reihen vorstellen und uns nur schwer vorstellen können, dass es etwas ausmacht, erst das eine und dann das andere zu addieren oder umgekehrt. Gerade weil die Addition im endlichen kommutativ ist, wirken viele Beweise mit unendlichen Reihen intuitiv logisch, führen dann aber zu völlig inintuitiven Ergebnissen. So kann man zum Beispiel mit dem
        http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher_Umordnungssatz
        zeigen, (siehe Beispiel dort), dass man bestimmte unendliche Reihen durch Umordnen dazu bringen kann, am Ende jeden Wert als Summe herrauszubekommen. Dies wiederspricht so ganz der Vorstellung im Endlichen und genau da ist denke ich das Problem.
        Ich hoffe dass hilft etwas,
        liebe Grüße,
        Arvid

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        1. dasaweb Beitragsautor

          Hallo Arvid,

          danke für deinen Kommentar! Ich glaube, du hast Recht damit, dass die Umordnung von unendlichen Reihen problematisch ist und dass wir uns unendliche Reihen gerne wie (natürlich sehr spät endende) endliche vorstellen. Genau da liegt aber ja ein Punkt dieses nicht-intuitiven Ergebnisses: Wir stellen uns die unendliche Summe gerne als lim->inf der endlichen vor, und das ist eben nicht intuitiv.

          Ich hab mir eben mal den Text durchgelesen, den die Autoren des Videos jetzt nochmal publiziert haben: http://www.nottingham.ac.uk/~ppzap4/response.html Spannend finde ich, dass sie sie (aus der Sicht der Physik) das intuitive Ergebnis „unendlich“ viel unbrauchbarer finden das das nicht-intuitive -1/12. Ich verstehe die Argumentation dort nicht auf Anhieb, es geht viel um die Analytische Fortsetzung der Riemannsche Zeta-Funktion. Und in der Physik scheint man kein Problem damit zu haben, mit zeta(-1)=-1/12 zu rechnen. Auch wenn mir das nie begegent ist. Heißt aber nix ;o) Aber ich kann eben nicht wirklich einschätzen, wie mathematisch sauber man diese analytische Fortsetzung machen kann.

          In besagtem Text klassifiziert der Autor zwei Grundarten des Widerspruchs zu der -1/12-Sache:
          1) Das Ergebnis ist nicht intuitiv, es darf also nicht wahr sein.
          2) Die Herleitung ist mathematisch falsch.
          Mir fehlen die mathematischen Mittel, um 2) wirklich beurteilen zu können. Aber ich möchte auch nicht einfach aufgrund von 1) das Ganze als Bullshit abtun… Was bei mir auf jeden Fall bleibt ist die Faszination an Ramanujan, der mit der Sache ja um die Ecke kam.

          Grüße!
          Daniel.

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    2. Tobias

      Hi Arvid,

      ich stimme da nicht mit Dir überein. Das, was Du als „Beweis“ beschreibst, ist kein Beweis, sondern nur eine Folge davon, dass 1/2 ein sinnvoller Wert zur Regularisierung dieser divergenten Reihe ist. Genau das ist auch die Crux bei diesen Videos und worüber sich viele Mathematiker aufgeregt haben. Die machen nämlich genau dasselbe. Sie präsentieren Manipulationen, die nicht allgemein zulässig sind als „Beweis“ und das dann auch noch auf mehrere Arten. Es wäre völlig korrekt, zu sagen, dass der Umstand, dass der Wert -1/12 bei diesen verschiedenen Ansätzen jeweils sinnvoll ist, darauf hinweist, dass -1/12 dieser divergenten Reihe als sinnvoller Wert zugeordnet werden kann. Aber das dann mit verschmitztem Grinsen als Beweis hinzustellen ist schon extrem grenzwertig aus meiner Sicht.

      Genauso halte ich es für extrem problematisch, wenn Brady sagt, dass die Reihe 1+2+3+… gegen Unendlich strebt und dann behauptet wird, „nein, das ist falsch, es ist -1/12“. Das ist mathematischer Schwachsinn. Es kommt nämlich einfach darauf an, in welchem Framework man sich bewegt und was man mit dem „=“ ausdrücken will. Je nachdem kann beides eine valide Antwort sein.

      Es ist halt doch problematisch, wenn Physiker Mathe erklären. 🙂 Das einzige der dort geposteten Videos, das ich sinnvoll fand, war das Video, in dem tatsächlich ein Mathematiker zur Sprache kam:

      http://www.youtube.com/watch?v=0Oazb7IWzbA

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      1. Arvid

        Hallo Tobias,
        damit kommst du inhaltlich auf das Selbe raus wie ich. Dass der „Beweis“ von S=1/2 eben kein korrekter Beweis ist. Hierbei habe ich mich lediglich auf den „Beweis“ aus den Videos bezogen. Aber wenn wir es sehr genau nehmen dann habe ich mich natürlich oben nicht ganz korrekt ausgedrückt. Was ich sagen wollte mit meinem zweiten Satz war: „Der Beweis benutzt folgende Umordnung der Reihe.“ Ich hatte nicht die Absicht, einen vollständigen Beweis darzulegen, sondern wollte nur auf einen möglichen Schwachpunkt hinweisen.
        Sprachliche Unkorrektheiten sollten einem Mathematiker natürlich nicht passieren.
        😉

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        1. Tobias

          Hi Arvid,

          nein, ich meine nicht dasselbe wie Du. Es wurde keine Umordnung (Vertauschung der Reihenfolge) vorgenommen. Ich hab mich heute mal ein bisschen mit dem Thema beschäftigt, weil ich es spannend fand und muss mir das Video nochmal in Ruhe anschauen, aber zumindest der Punkt, den Du kritisierst, ist mathematisch völlig ok. Allerdings – und das ist das wichtige – muss man wissen, über was für ein Axiomensystem man da spricht. Man kann eben bei der Frage, ob man einer divergenten Reihe sinnvolle Werte zuordnen kann mit zwei Axiomen arbeiten, nämlich:

          WENN S(\sum a_k) existiert, dann soll gelten
          (A1) S(a_0+a_1+a_2+…)=a_0 + S(a_1+a_2+…)
          (A2) S(\sum (\alpha a_k + \beta b_k)) = \alpha S(\sum a_k) + \beta S(\sum b_k) (also Linearität).

          Jede Methode, die einer divergenten Reihe einen Wert zuordnet und diesen Axiomen genügt, wird S(1-1+1-1+1- …) = 1/2 berechnen, denn die Argumentation, die Du bereits aufgezeigt ist, wird durch die Axiome abgedeckt.

          Bei der Reihe 1 + 1 + 1 + … führt dies, wie Du gezeigt hast, zu einem Widerspruch, d.h. dieser Reihe kann mit der Methode kein sinnvoller Wert zugeordnet werden.

          Das Problem in dem Video ist also weniger das, was sie tun, sondern mehr, dass sie es so darstellen, als würden sie dabei tatsächlich eine „unendliche Addition“ durchführen, was aus meiner Sicht Quatsch ist.

          Wenn es Dich / euch wirklich interessiert, tiefer einzusteigen: ich habe eine Videovorlesung gefunden, die das super erklärt. Ich habe erst das erste Video geschaut, aber werde das wohl noch weiter schauen. Mann, Daniel, da schaue ich mal wieder auf Deinem Blog vorbei und gleich habe ich wieder ein neues Thema, dem ich mich widmen „muss“. 😉

          https://www.youtube.com/watch?v=VvqeJkT3uyo#t=1775

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          1. Tobias

            Ich habe das jetzt noch ein bisschen weiter geschaut. Ich denke, dass man mit dieser Methode bei der Reihe 1+2+3+4+… tatsächlich nicht weiter kommt. Auf den Wert -1/12 kommt man auf jeden Fall mithilfe der Zeta-Funktion. Aber bei den Manipulationen in dem Video ist tatsächlich die Frage, was für Axiome die da verwendet haben und inwiefern das legitim ist.

            Übrigens, Daniel, in dem 5. Video der Vorlesung, die ich gepostet habe, spricht er auch kurz über Anwendungen von 1+2+3+4+… in der Physik. Wenn ich das richtig verstanden habe, spielt das z.B. beim Casimir-Effekt eine Rolle. Aber da bin ich dann ausgestiegen, weil mir das physikalische Wissen fehlt.

          2. Tobias

            Hab gerade nochmal darüber nachgedacht. Ich denke, mit meinen obigen Axiomen sollte S(1+2+3+…) nicht existieren (bzw. unendlich sein), denn

            S(1+2+3+4+…) = 1 + S(2+3+4+..) = 1 + S(1+1+1+1+…) + S(1+2+3+4+…)

            Wäre S(1+2+3+4+…) jetzt endlich, würde auf der linken Seite was endliches stehen, auf der rechten Unendlich. Allerdings bin ich mir nicht sicher, wie legitim das ist, da ich dabei ja das Axiom angewendet habe, obwohl ich weiß, dass S(1+1+1+1+…) nicht endlich ist.

            Interessanterweise funktioniert damit aber z.B.

            s=S(1+2+4+8+…) = 1 + S(2+4+8+…) = 1+2S(1+2+4+8+…)=1+2s

            und damit s=-1. 🙂

          3. Arvid

            Hallo Tobias,

            danke für deine ausführliche Sicht der Dinge.
            Die Sache mit dem Axiomensystem ist tatsächlich ein Punkt, der viel zu wenig beachtet wird. Leider habe ich nicht genug Zeit, um tief genug einzusteigen. Aber ich verfolge die Diskussionen sehr interessiert und freue mich, wie Daniel bereits meinte, dass sich auf diese Weise viele Leute mit der Mathematik beschäftigen. Allerdings sollte das Ganze nicht dazu führen, dass die Leute das Gefühl bekommen, sie würden nun gar nichts mehr von Mathematik verstehen und sich ohne nähere Beschäftigung abwenden. Das wäre dann sehr schade.

          4. Tobias

            Noch ein Kommentar: Die beiden Axiome, die ich genannt hatte, werden als „Stabilität“ und „Linearität“ bezeichnet: https://en.wikipedia.org/wiki/Divergent_series#Properties_of_summation_methods

            Wie ich bereits überlegt hatte, kann eine Summation, die beide Axiome erfüllt keinen endlichen Wert für 1+2+3+… berechnen, wie hier nochmal schön beschrieben ist: https://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%C2%B7%C2%B7%C2%B7#Failure_of_stable_linear_summation_methods

            Interessanterweise gibt es aber wohl Varianten der Zeta-Funktion-Regularisierung, von denen eine linear aber nicht stabil und eine stabil aber nicht linear ist und beide berechnen den Wert -1/12. 🙂

      2. dasaweb Beitragsautor

        Hi Tobias,

        auf dich hatte ich schon gewartet ;o) Hatte das Video, welches du verlinkt hast, von in meiner Playlist, aber noch nicht angesehen. Jetzt hab ich das gleich mal gemacht. Gefällt mir sehr gut, aus folgenden Gründen:

        1) Die Argumentation mit den unterschiedlichen Frameworks ist nett, weil sie mit der scheinbar falschen Sicht aufräumt, dass Mathematik in sich konsistent ist. Oder sagen wir vielleicht besser: dass mathematische Schreibweisen konsistent sind. Denn ein „es kommt drauf an, in welchem Kontext man das betrachtet“ klingt doch eher nach Politik oder Theologie als nach Mathematik. Damit gibt es auch kein simples „richtig“ oder „falsch“.

        2) Er sagt im Video: Mathematik ist Work in Progress, unsere Sicht ist begrenzt, wir müssen noch lernen und verstehen heute längst noch nicht alles. Das würde ja eigentlich jeder unterschreiben; wenn das allerdings auch bedeutet, dass es verschiedene lose Enden gibt, die sich scheinbar widersprechen (oder anders gesagt: bei denen im jeweiligen Kontext andere Ergebnisse sinnvoll scheinen), dann ist das doch erstaunlich, finde ich.

        Ist auch irgendwie versöhnlich, das so zu sehen. Denn somit hat jedes Ergebnis seinen Platz, eben ja nach Zusammenhang. BTW: Ich fand alle diese Videos sinnvoll, denn immerhin haben sie eine sehr breite Diskussion über und hier und da eine intensive Beschäftigung mit Mathematik ausgelöst. Und das kann ja auch ein Mathematikern nur Recht sein, oder?

        Antworten
        1. Tobias

          Hi Daniel,

          wie kommt es, dass ich keine E-Mail-Benachrichtigung beomme, obwohl ich abonniert habe? Seltsam…

          Zunächst mal: ich dachte eigentlich, dass es *gerade* Mathematikern klar sein müsste, dass Aussagen wie „richtig“ oder „falsch“ nur in Bezug auf ein Axiomensystem Sinn ergeben können. Im Gegensatz zu Dir finde ich es in der Politik (und auch in schlechter Theologie) genau anders herum, da dort oft Leute mit verschiedenen Axiomensystemen sich anschreien, obwohl man eigentlich einfach nur ruhig feststellen könnte, dass man von verschiedenen Voraussetzungen ausgeht. Und das ist es auch, was ich bei dem Video schlecht und gefährlich fand. Die machen nämlich genau das. Sie verschleiern ihre Voraussetzungen und finden das auch noch hip. Ich habe nichts gegen Pop-Science und sehe auch ihr Bedürfnis, den Laien anzusprechen. Aber ich sehe nicht, warum man nicht im Video erwähnen kann, dass das nicht die „Wahrheit“ ist und auf Möglichkeiten zur Weiterbildung (wie die obige Vorlesung) verweisen. Denn wenn man die Kommentare liest, sieht man, dass die meisten Leute das entweder schlucken oder sagen „Mathe ist doof, weil nicht intuitiv“. Die wenigstens setzen sich damit wirklich auseinander. Damit verfehlt das Video aus meiner Sicht seinen Sinn.

          Dein zweiter Punkt ist schon philosophischer. Und ehrlich gesagt weiß ich nicht genug über Mathematik, um da wirklich einzusteigen. Ich würde sagen, der Professor meinte das eher in dem Sinn von „Es gibt viele Theorien, die noch nicht weit entwickelt sind und wo wir noch nicht sagen können, welche Tragweite sie haben“. Eigentlich ist der Anspruch der Mathematik eben schon die „Perfektheit“ von Axiomensystemen. Auf der anderen Seite hat man aber auch Paradoxien und Leute wie Gödel haben hier auch einiges untergraben. Wie gesagt, ich würde mich jetzt viel zu weit aus dem Fenster lehnen, wenn ich da einsteigen würde. 🙂

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  2. Tobias

    Übrigens noch ein Detail: Die Aussage in Deinem Artikel \sum n \to -1/12 sieht so aus, als würde hier tatsächlich irgendwie Konvergenz vorliegen. Das ist auf jeden Fall falsch. Wenn, dann solltest Du ein „=“ verwenden und auch das ist eben mit Vorsicht zu genießen. Das ganze würde zu weit weniger Verwirrung führen, wenn man dafür einfach einen neuen Operator statt dem Summenzeichen verwenden würde…

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