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Nicht nur Pi taugt nichts ohne Metainformation

piIst Pi eigentlich normal? Wenn eine Zahl eine „normale Zahl“ ist, dann bedeutet dies, dass in dieser Zahl jede Ziffer und auch jeder beliebig lange Block von Ziffern gleich häufig vorkommt. Es gibt die eine oder andere Zahl, bei denen Normalität nachgewiesen ist, für Pi wird dies bisher nur vermutet. Vieles spricht jedoch dafür, z.B. diese Visualisierung eines Random Walks der Zahl Pi in der Basis 4. Es kann auch sein, dass eine Zahl in der einen Basis normal ist, in einer anderen aber nicht. Egal.

Gehen wir davon aus, dass Pi normal ist. Dann steckt in Pi jede beliebige Abfolge von Ziffern. Mein Geburtstag z.B. taucht in Pi zum ersten Mal an Position 38221746 auf. Wenn diese Eigenschaft für Pi auch in einer hexadezimalen Basis gilt, dann ist in Pi auch jede Datei vorhanden, die du auf deinem Computer gespeichert hast. Jeder Songtext, den du dir mühsam zusammenbastelst, ist schon in Pi gespeichert. Genau so jedes aufwendig komponierte Foto. Jede Liebes-WhatsApp gibt es schon. Jeder Fehler wurde in Pi schon gemacht. Jeder Bugfix eines Programms ist schon da. Nichts, was es nicht gibt. Pi weiß einfach alles.

Man kann diese Eigenschaft sogar als Dateisystem nutzen (das sog. πfs). Der Clou: Anstelle des Inhalts einer Datei speichert man einfach nur, wo man die Information in Pi findet und wie lange die Information ist. Fertig. Klar hat dieses Vorgehen so seine Problemchen: Man muss Pi erst einmal so weit generieren, bis man den eben mit der GoPro erzeugten Film auch darin findet, und wenn man den Film wieder anschauen will muss man Pi wieder sehr mühsam generieren. Außerdem kann der Index natürlich schnell größer werden als die eigentlich zu speichernde Datei. Trotzdem finde ich diese Vorstellung extrem faszinierend!

Schon vor langer Zeit wurde (eher scherzhaft) behauptet, man solle sich davor hüten, Pi in großer Länge auf seinem Rechner gespeichert zu haben, denn damit mache man sich schnell strafbar:

  • Copyright infringement (of all books, all short stories, all
    newspapers, all magazines, all web sites, all music, all movies,
    and all software, including the complete Windows source code)
  • Trademark infringement
  • Possession of child pornography
  • Espionage (unauthorized possession of top secret information)
  • Possession of DVD-cracking software
  • Possession of threats to the President
  • Possession of everyone’s SSN, everyone’s credit card numbers,
    everyone’s PIN numbers, everyone’s unlisted phone numbers, and
    everyone’s passwords
  • Defaming Islam. Not technically illegal, but you’ll have to go
    into hiding along with Salman Rushdie.
  • Defaming Scientology. Which IS illegal — just ask Keith Henson.

Also, your computer will contain all of the nastiest known computer viruses. In fact, all of the nastiest POSSIBLE computer viruses.

So amüsant, faszinierend und vielleicht auch verstörend dieser Gedanke auch sein mag, so falsch ist er trotzdem. Denn das Abbild einer Information alleine ist noch lange keine Information, es ist nichts. Eine Abfolge von Zeichen oder Ziffern wird erst durch Interpretation zur Information. Man könnte diese Information über Information als „Metainformation“ (oder als „Metadaten“) bezeichnen. Ohne Metainformation können Daten – egal welcher Art – nicht oder nur fehlinterpretiert werden. Wenn ich bei einem Musikstück Notenschlüssel und Notenhälse weg lasse, wer weiß dann noch, wie ich das Blatt halten muss, um die Musik zu Spielen? Leute wie John Cage haben genau damit experimentiert. Oder eine Zahlenfolge auf einem Schmierzettel wird erst dann nützlich oder gefährlich, wenn ich weiß, dass es sich um eine Kreditkartennummer handelt.

Auch Texte sind ohne Metainformation einigermaßen nutzlos. Texte können sogar unter Verwendung falscher Metainformation bewusst missbräuchlich verwendet werden. Ein Zeitungsartikel, dem die Überschrift „Glosse“ versehentlich abhanden gekommen ist ist schwer erträglich; wird die Information bewusst weg gelassen, dann geht der Text mit Sicherheit an dem vom Autor vorgesehenen Zweck vorbei. Das gilt leider auch für religiöse Texte und Schriften. Erst gestern habe ich wieder gehört, dass christlicher Glaube aufgrund der Offenbarung der Bibel „faktenbasiert“ sei. So einfach ist es aber nicht, die „Fakten“ sind Ergebnis von vorausgesetzter Metainformation. Und verschiedene Menschen setzen verschiedene Dinge voraus. Es funktioniert nicht, nur die Bibel zu lesen und sie sich selbst interpretieren zu lassen. Wer glaubt, dass er dies tut, der belügt sich selbst. Bestenfalls nur sich selbst.

BTW: An welcher Stelle von Pi befindet sich eigentlich die Lutherbibel von 1984?

Soll ich mich überholen lassen?

Du kennst das sicher: Du fährst in einer einspurigen Einbahnstraße, Tempo 30, viel Platz ist nicht, links ist ein Gehweg, rechts parken an der Straße entlang Autos, und vor dir tümpelt ein Radfahrer vor sich hin. Du siehst schon, dass sich weiter vorne eine Lücke ergibt, ein paar Parkplätze in Folge sind frei, vielleicht so drei Stück. Du rückst dem Radfahrer ein bisschen auf die Pelle, denn selbstverständlich wird er gleich die Parklücke rechts nutzen, um dir Platz zu machen. Immerhin hält er dich ganz schön auf.

Andere Perspektive: Du merkst auf deinem Fahrrad, dass das Auto hinter dir in der Einbahnstraße vorbei will, offenbar hältst du den Fahrer auf. Obwohl hier ja Tempo 30 ist und du mit 25 km/h nicht gerade langsam unterwegs bist. 10 km/h Unterschied, das Auto fährt ja nicht nur 30, da könntest du es eigentlich vorbei lassen. Solltest es sogar. Da vorne in dem langen Stück mit den freien Parkplätzen ist eine gute Gelegenheit.

Ist es eine gute Gelegenheit? Die Situation kenne ich gut, alle paar Tage als Fahrradfahrer, ab und zu auch als Autofahrer. Schon oft dachte ich, man müsste das mal kurz durchrechen: Soll ich mich überholen lassen?

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Mechanische Fourier-Transformation

Wenn man unschuldige Passanten auf der Straße danach fragen würde, was wohl eine Fouriertransformation ist, dann würde man vermutlich von dem einen oder anderen für einen esoterischen Spinner gehalten werden. Dabei wäre den Leuten nicht klar, dass beim Hören der Frage in ihrem Ohr genau eine solche Fouriertransformation stattgefunden hat: Der Schall, der auf ihr Ohr getroffen ist, bestand aus einer Überlagerung von vielen Sinus-Schwingungen, die sich in der Luft als Druckschwankungen ausgebreitet haben und schließlich auf’s Ohr getroffen sind. Was wir aber wahrnehmen ist nicht die Überlagerung von Sinusschwingungen, sondern Töne. Spielt man auf dem Klavier z.B. einen normalen Dreiklang mit unterschiedlich lauten Tönen (und vereinfacht jetzt mal ganz gewaltig), dann sendet das Klavier (auf einer Zeitachse betrachtet) gleichzeitig drei Sinusschwingungen unterschiedlicher Amplitude aus. Was wir hören sind aber drei unterschiedlich laute Töne, also Frequenzen. Und tataaa: Die drei gewichteten Frequenzen sind die Fouriertransformation (in dieser Richtung würde man es „Fourier-Analyse“ nennen) der zeitlichen sinusförmigen Dichteschwankungen der Luft.

Das Ohr kann das also, nahezu in Echtzeit fouriertransformieren. Computer können das auch, üblicherweise verwenden sie die sog. FFT, die „Schnelle Fouriertransformation“. Ohne diese Methodik wären viele simplen technischen Dinge des normalen Alltagslebens nicht möglich.

Ich arbeite seit Jahren mit Magnetresonanztomographie (MRT) und habe immer noch Schwierigkeiten, das Wort schnell und fehlerlos zu schreiben somit viel mit Fouriertransformation zu tun, denn in der MRT werden nimmt man seine Bilder nicht einfach Pixel für Pixel auf, so wie das z.B. eine Digitalkamera tut, sondern man nimmt die Daten im fouriertransformierten Raum des normalen Bildraums auf. Bisher war mir jedoch nicht klar, dass man eine Fouriertransformation auch mit relativ überschaubaren mechanischen Apparaten erzeugen kann. Bill Hammack, der fast schon legendäre EngineerGuy, hat da etwas sehr interessantes ausgegraben: Eine 100 Jahre alte Maschine, die sowohl einen Fourier-Synthese, als auch eine Fourier-Analyse durchführen kann. Natürlich nicht so präzise und schnell wie ein heutiger Rechner, aber dennoch erstaunlich gut. Und wenn du nicht das dicke Buch von Albert Michelson „Harmonic Analyzer“ zu der Maschine durchlesen willst (hier als PDF), dann empfehle ich dir die folgenden drei unterhaltsamen Videos. 15 Minuten Zeit sollten über die Feiertage schon mal drin sein für ein bisschen mathematische Grundbildung:

Rubik’s Cube: P oder NP?

Rubik's CubeRubik’s Cube, kennt man. Kann man auch irgendwie lösen. Ich hatte als Kind nie einen und habe letztes Jahr meinen Jungs einen geschenkt. Wenn man sich ein bisschen reinfuchst dann bekommt man das Lösen dieses Teils nach Schema F auch hin. Jedenfalls bei dem Würfel mit der Kantenlänge n=3.

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20 Kindergeburtstage

Wunderkerzen

Wir feiern in unserer kleinen Familie heute unseren 20. Kindergeburtstag. Das kann viel bedeuten: Wir haben drei Kinder, 1, 7 und 12 Jahre alt. Oder zwei Kinder, eines schon 16, das andere wird heute 4. Oder nur ein Kind, das heute schon 20 wird.

Machen wir folgende Annahmen: Wir haben keine Mehrlinge, das Alter alle Kinder liegt immer mindestens 2 Jahren auseinander und alle geboreren Kinder leben noch. Dann stellen sich folgende Fragen:

  1. Wie viele Kombinationen gibt es für die Alter (sagt man das so?) unserer Kinder? Die Kinder sollen dabei vertauschbar sein, also Kind 1 ist 7 und Kind 2 13 Jahre alt ist das gleiche wie Kind 1 ist 13 und Kind 2 7 Jahre alt.
    Tipp: Die Lösung hat etwas mit dem Geburtsdatum meines Vaters zu tun. Falls ich mich nicht verzählt habe.
  2. Wie viele Kinder können wir maximal haben?

Die Summe aller natürlichen Zahlen ist negativ

Ich bin verwirrt, und wenn du 8 Minuten Zeit und ein bisschen mathematischen Sachverstand mitbringst (allerdings nicht zu viel), dann kannst du das auch gleich sein. Es geht um Folgendes:

Die Geschichte des jungen Schülers Carl Friedrich Gauß ist ziemlich bekannt, überliefert wurde sie uns von Wolfgang Sartorius von Waltershausen:

„Der junge Gauss war kaum in die Rechenclasse eingetreten, als Büttner die Summation einer arithmetischen Reihe aufgab. Die Aufgabe war indess kaum ausgesprochen als Gauss die Tafel mit den im niedern Braunschweiger Dialekt gesprochenen Worten auf den Tisch wirft: »Ligget se’.« (Da liegt sie.)“ Die genaue Aufgabenstellung ist nicht überliefert. Oft wird berichtet, dass Büttner die Schüler die Zahlen von 1 bis 100 (nach anderen Quellen von 1 bis 60) addieren ließ und Gauß feststellte, dass die erste und die letzte Zahl (1+100), die zweite und die vorletzte Zahl (2+99) usw. zusammen immer 101 ergeben. Der Wert der gesuchten Summe ergibt sich so zu 101 mal 50.

Entsprechend den damaligen Verhältnissen unterrichtete Büttner etwa 100 Schüler in einer Klasse. Damals waren auch Züchtigungen mit der sogenannten Karwatsche (Lederpeitsche) üblich. Sartorius berichtet: „Am Ende der Stunde wurden darauf die Rechentafeln umgekehrt; die von Gauss mit einer einzigen Zahl lag oben und als Büttner das Exempel prüfte, wurde das seinige zum Staunen aller Anwesenden als richtig befunden, während viele der übrigen falsch waren und alsbald mit der Karwatsche rectificirt wurden.“ Büttner erkannte bald, dass Gauß in seiner Klasse nichts mehr lernen konnte.

Das Zitat stammt aus dem Wikipedia-Artikel zur Gaußschen Summenformel, denn genau darum geht es:

$latex \sum\limits_{n=1}^k n = \frac{k(k+1)}{2} &s=3$

Ganz offensichtlich ist das Ergebnis dieser Summe selbst wieder eine natürliche Zahl und dadurch auch positiv. Irgendwie intuitiv. Bis hierher ist meine Welt in Ordnung.

Spannend wird es, wenn wir die Summe jetzt nicht mehr nur bis k laufen lassen, sondern bis unendlich. Mathematiker behaupten folgendes:

$latex \sum\limits_{n=1}^\infty n = -\frac{1}{12} &s=3$

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142857

Klausur im Leistungskurs Physik. Wir Schüler waren mit den Gedanken bei unseren Aufgaben, der Kursleiter Herr J.F. hatte anderes zu tun und durch die Reihen schlurfend offenbar seinen Spaß. Auf einmal wurde er unruhig und sah sich gezwungen, uns kurz zu unterbrechen, um uns etwas Dringendes mitzuteilen. Es seien „ungefähr 42,857142857142…%“ von uns sieben Schülern Linkshänder, das habe er eben festgestellt.

Wie bitte? Während der restlichen Zeit beschäftigten mich neben den Fragen der Klausur zwei weitere. Erstens: Warum unterbricht er uns, um uns so etwas unglaublich wichtiges mitzuteilen? Und zweitens: Wie kommt er im Kopf auf diese Zahl? Die erste Frage ist bis heute unbeantwortet, die zweite wurde uns von ihm mit spitzbübischem Grinsen direkt im Anschluss erklärt:

  • 1/7 = 0,142857…
  • 2/7 = 0,285714…
  • 3/7 = 0,428571…
  • 4/7 = 0,571428…
  • 5/7 = 0,714285…
  • 6/7 = 0,857142…

Got it? Ich konnte seine Begeisterung verstehen. Und eben sah ich dann dieses Video auf Numberphile, in dem die Sache mit den „Cyclic Numbers“ noch viel weiter getrieben wird. Unglaublich. Egal was du gerade tust, du musst dich dadurch unterbrechen lassen. Wir mussten damals auch.

Zahlen-Liebe

Ich bin in letzter Zeit immer mal wieder über Videos des Kanals Numberphile gestolpert, mittlerweile ist der Feed in meinem Feedreader gelandet. Dringende Empfehlung für alle, die sich für Zahlen begeistern können. Und alle anderen sollte sich wenigstens die folgenden beiden Videos mal ansehen.Im ersten geht es um die Zahl 60: Warum hat eine Minute eigentlich 60 Sekunden und nicht z.B. 100, warum eine Stunden 60 Minuten? Warum hat eine Umdrehung 360°, und was hat das mit den Tagen im Jahr zu tun?

Im zweiten dreht sich alles um die Zahl „Billion“. Wir haben ja alle mit Geld zu tun und wissen somit, was die Zahl bedeutet. Falls nicht schauen wir einfach bei Wikipedia unter Billion nach. Und werden uns wundern.Auch im Video wundert man sich und erklärt dann, warum das, was jemand unter einer Billion versteht davon abhängt, wo er lebt und wie alt er ist.

Kapitäns-Syndrom

Bis heute habe ich nie etwas vom sog. „Kapitänssynrom“ gehört, aber das, was ich heute davon gehört habe, hat mich doch ziemlich überrascht. Wikipedia definiert:

Unter Kapitänssyndrom oder Kapitänssymptomatik versteht man das Phänomen, dass viele Lernende in der Mathematik versuchen, Sachaufgaben – sogenannte Kapitänsaufgaben – zu lösen, die sachlich nicht erschlossen sind, d. h., die anhand des angegebenen Sachverhaltes gar nicht lösbar sind. Dabei werden Zahlen aus dem Aufgabentext unabhängig vom Kontext mit Operationszeichen verknüpft und das Rechenergebnis als Lösung angegeben.

via de.wikipedia.org

Der Name „Kapitänssyndrom“ kommt von einer bestimmten Beispielaufgabe, die in diesem Zusammenhang oft genannt wird:

„Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?“ 76 der befragten 97 Schüler beantworteten die Frage, indem sie die angegebenen Zahlen der Aufgabenstellung in irgendeiner Weise miteinander kombinierten und eine Lösung auf die Frage angaben, obwohl es gar keine gibt.

via de.wikipedia.org

Die folgende Variation der Aufgabe ist besonders schön, hier wird die Lösung bereits in der Aufgabenstellung mit genannt:

Ein 27 Jahre alter Hirte hat 25 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Hirte?

Sebastian: Ich weiß es. Ein 27 Jahre alter Hirte, da muss man die 25 noch dazuzählen. Und die 10 Ziegen, die laufen ja nicht weg!

Frage: Die laufen nicht weg?
Sebastian: Ne, hab‘ ich nicht geschrieben!
Frage: Und was musst du da rechnen?
Sebastian: 27 plus 25 plus die 10.
Frage: Weil die Ziegen nicht weglaufen?
Sebastian: Ja.
Frage an Dennis: Und was meinst du?
Dennis: Die laufen weg! Der passt da nicht drauf auf!

via spiegel.de

Oder:

Lehrer: Du hast 10 Bleistifte und 20 Buntstifte. Wie alt bist du?
Julia: 30 Jahre alt!
Lehrer: Aber du weißt doch genau, dass du nicht 30 Jahre alt bist!
Julia: Ja, klar. Aber das ist nicht meine Schuld. Du hast mir die falschen Zahlen gegeben.

via spiegel.de

Das erschreckende ist, dass die Quote der Kinder, die wirklich anfangen zu rechnen, mit dem Alter steigt. Kurios.